Derivering

Derivering handler om å finne om stigningstall på en lineær funksjon.

Fra før vet vi at vi finner stigningstall på lineære ved å benytte to punkt på grafen som vist under

$stigningstall = \frac{y2 - y1}{x2 - x1}$

For en lineær funksjon krummer linjen seg slik at man må velge punkter som er nære hverandre. Tenk deg at avstanden mellom de to på x-aksen blir så liten at den nærmer seg null, at $x2$ og $x1$ er nesten helt like. 

Da kan vi være sikker på at slipper det problemet med at vi ikke får med oss en bue på grafen, og da kan kan vi finne ut av om stigningen, er null, positiv eller negativ.

Metoden for derivering er svært enkel: Potensen for x flyttes ned foran x og deretter reduseres med 1.

La oss se på et eksempel: $x^2 - 2x + 3$

Dette kan kan skrives som: $x^2 - 2x^1 + 3x^0$ (legg merke til det siste leddet, alt vi opphøyer til 0 blir 1)

Når vi deriverer ligningen får vi:

$2 \cdot x^1 - 2 \cdot 1 \cdot x^0 + 3 \cdot 0 \cdot x^{-1} = 2x - 2$

$2 \cdot x^1 - 2 \cdot 1 \cdot x^0 + 0$ = $2x - 2$

La oss gå igjennom hva som skjedde:

$x^2$ ble til $2x^1$

$-2x$ ble til $-2 \cdot 1 \cdot x^0$

$3$ ble til 0 (deriverte av en konstant blir alltid 0)

For å finne hvilken verdi x har når vi når bunnpunktet må vi sette den deriverte ligningen til 0. Det vil si, vi vil vite hvilken verdi har x når y har verdien 0. 

$2x - 2 = 0$

$x=1$

På punktet $x=1$ har ligningen $x^2 - 2x + 3$ ingen stigning, og vi vet hvordan en annengrad funksjon ser ut, og vet dermed at vi har funnet bunnpunktet, det vil si.Vi vet x verdien. Vil vi vite y verdien må vi sette det inn i funksjonen og får vi

$y = 1^2 -2 + 3 = 2$

Nå vet vi at vi har et nullpunkt da funksjonen er på punktet $x=1, y=2$

Deriveringsregler - spesifikke regler

$1 ⇒ 0$

$ax+b ⇒ a$

$\frac 1 x ⇒ −\frac{1}{x^2}$

$\sqrt{x} ⇒ \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

$x^b ⇒ b \cdot x^{b−1}$

$ln(x)⇒ \frac 1 x$

$e^x ⇒ e^x$

$a^x⇒a^x \cdot ln(a)$

$sin(x)⇒cos(x)$

$cos(x)⇒−sin(x)$

$tan(x)⇒\frac{1}{cos^2(x)}=tan^2(x+1)$

Derivering - generelle regler

Merk: tegnet ' er den deriverte

(k⋅u)'=k⋅u' (multiplikasjon med en konstant)

(u+v)'=u'+v' (addisjonsregelen)

(u−v)'=u'−v' (subtraksjonsregelen)

(u⋅v)'=u'⋅v+u⋅v' (produktregelen)

(\frac u v)'=\frac{u'\cdot v − u \cdot v'}{v^2} (brøkregelen)